Las bifurcaciones han sido estudiadas con un análisis extenso de las curvas límite de los componentes rojos fijos en el espacio paramétrico para una familia uniparamétrica de buscadores de raíces simples bajo el mapa de conjugación de Möbius aplicado a un polinomio cuadrático. Un enfoque elemental desde la perspectiva de la teoría de curvas en el plano describe adecuadamente las figuras geométricas que se asemejan a un círculo o cardiode para caracterizar las curvas límite subyacentes que están expresadas de manera paramétrica. Además, se han encontrado puntos de bifurcación exactos para los componentes satélite en las fronteras, de acuerdo con el hecho de que la recta tangente en un punto de bifurcación toca simultáneamente el componente fijo rojo y el componente satélite. Los experimentos computacionales implementados con ejemplos reflejan bien la importancia de los fundamentos teóricos perseguidos en este documento.