El objetivo de este documento es presentar un nuevo análisis de convergencia semi-local para el método de Newton en un entorno de espacio de Banach. La novedad de este documento radica en que, al utilizar constantes de Lipschitz más precisas que en estudios anteriores y nuestra nueva idea de dominios de convergencia restringidos, ampliamos la aplicabilidad del método de Newton de la siguiente manera: se extiende el dominio de convergencia; las estimaciones de error son más precisas y la información sobre la ubicación de la solución es al menos tan precisa como antes. Estas ventajas se obtienen utilizando la misma información que antes, ya que las nuevas constantes de Lipschitz son más precisas y son casos especiales de las utilizadas anteriormente. Se utilizan ejemplos numéricos y aplicaciones para probar favorablemente los resultados teóricos en comparación con los anteriores.