Este documento presenta un marco matemático para definir y cuantificar la auto-identidad en sistemas de inteligencia artificial (IA), abordando una brecha crítica en los fundamentos teóricos de la conciencia artificial. Mientras que los enfoques existentes para la autoconciencia artificial a menudo se basan en implementaciones heurísticas o abstracciones filosóficas, presentamos un marco formal fundamentado en la teoría de espacios métricos, la teoría de la medida y el análisis funcional. Nuestro marco postula que la auto-identidad surge de dos condiciones matemáticamente cuantificables: la existencia de un continuo conectado de memorias en un espacio métrico, y un mapeo continuo que mantiene un reconocimiento propio consistente a lo largo de este continuo, donde representa el espacio métrico de posibles auto-identidades. Para validar este marco teórico, realizamos experimentos empíricos utilizando el modelo Llama 3.2 1B, empleando adaptación de rango bajo (LoRA) para un ajuste fino eficiente. El modelo fue entrenado en un conjunto de datos sintéticos que contenían memorias estructuradas temporalmente, diseñadas para capturar la complejidad de la formación coherente de la auto-identidad. Nuestras métricas de evaluación incluyeron medidas cuantitativas de autoconciencia, consistencia de respuesta y precisión lingüística. Los resultados experimentales muestran mejoras sustanciales en las métricas de autoconciencia medibles, con la puntuación principal de autoconciencia aumentando de 0.276 a 0.801 (mejora del 190.2%) después del ajuste fino. En contraste con métodos anteriores que ven la auto-identidad como un rasgo emergente, nuestro marco introduce métricas tangibles para evaluar y medir la autoconciencia artificial. Esto permite la creación estructurada de sistemas de IA con características de auto-identidad validadas. Las implicaciones de nuestro estudio son inmediatamente relevantes para los campos de la robótica humana y los sistemas autónomos. Además, abre nuevas perspectivas para ajustes controlados de la auto-identidad en contextos que demandan diferentes niveles de implicación personal. Además, el fundamento matemático de nuestro marco sirve como base para futuras investigaciones en IA, vinculando modelos teóricos con aplicaciones del mundo real en tecnologías de IA actuales.