Investigamos dos enfoques diferentes que se pueden utilizar para ampliar la mecánica estadística cuántica estándar. Uno se basa en el cálculo fraccional y el otro considera la extensión del concepto de entropía, es decir, la estadística de Tsallis. Revisamos y discutimos algunas de las principales propiedades de estos enfoques y utilizamos el formalismo de la función verde térmica para realizar los desarrollos, permitiéndonos analizar simultáneamente la dinámica y los aspectos termodinámicos de cada caso. En particular, los resultados nos permiten comprender cómo las extensiones cambian el comportamiento de algunas cantidades, especialmente las fluctuaciones relacionadas con el sistema.