Los invariantes numéricos de una variación de estructura de Hodge sobre una variedad cuasi-proyectiva suave son una medida de la complejidad del retorcimiento global de la estructura de Hodge mixta límite cuando degenera. Estos invariantes aparecen en fórmulas que pueden tener términos de corrección llamados desigualdades de Arakelov. Investigamos igualdades numéricas de tipo Arakelov para una familia de superficies fibradas por curvas. Nuestro método utiliza identidades de Arakelov en variaciones de estructura de Hodge de peso uno y peso dos en un triángulo conmutativo de fibraciones de dos pasos. Nuestros resultados también involucran la descomposición de Fujita de haces de Hodge en estas fibraciones. Demostramos varias identidades y relaciones entre los números de Hodge y los grados de los haces de Hodge en una fibra de dos pasos de superficies por curvas.