Se presentan soluciones analíticas por tramos a ecuaciones diferenciales ordinarias escalares, no lineales, de primer orden, basadas en la expansión de la serie de Taylor de segundo orden de sus lados derechos que resultan en ecuaciones de Riccati. Se obtienen soluciones en forma cerrada si no se considera la dependencia del lado derecho en la variable independiente; de lo contrario, la solución se da mediante series convergentes. También se informan soluciones discretas basadas en la expansión de la serie de Taylor de segundo orden del lado derecho y la discretización de la variable independiente que resultan en ecuaciones cuadráticas algebraicas. Tanto los métodos analíticos por tramos como los discretos se aplican a dos problemas de valores iniciales singularmente perturbados y se comparan los resultados con la solución exacta y los procedimientos de linealización, y los métodos de Taylor implícitos y explícitos. Se muestra que la precisión de las técnicas analíticas por tramos depende del número de términos mantenidos en la expansión de la solución, mientras que la de los métodos discretos depende de la ubicación donde se evalúan los coeficientes. Para ecuaciones de Riccati con coeficientes constantes, el método analítico por tramos presentado aquí proporciona la solución exacta; también proporciona la solución exacta para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con coeficientes constantes.