Este documento introduce un nuevo concepto de un conjunto de imágenes conectadas para un mapeo, que extiende la noción de propiedades de preservación de bordes con respecto al mapeo. También presentamos nuevas definiciones de contracciones de imágenes conectadas, con un enfoque en teoremas de punto fijo que involucran funciones auxiliares en espacios -métricos. Se exploran las relaciones entre estos conceptos matemáticos, junto con sus aplicaciones para resolver ecuaciones diferenciales e integrales. En particular, discutimos resultados de existencia para la resolución de ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas, así como teoremas relacionados con contracciones del tipo integral.