Se presenta un nuevo teorema de convergencia local y semi-local para el esquema no lineal de cuatro pasos. Los estudios anteriores sobre convergencia local se realizaron sin suposiciones particulares sobre la constante de Lipschitz. En la primera parte, se obtienen los principales teoremas de convergencia local con un promedio débil (asumiéndolo como una función positivamente integrable y eliminando la propiedad esencial de ND). En comparación con investigaciones anteriores, en otra parte, empleamos secuencias majorantes que son más precisas en su precisión junto con cierta forma de criterios de Lipschitz promedio. Se deriva un criterio de convergencia local y semi-local más fino, aumentando su utilidad, al relajar las suposiciones. Se ilustran aplicaciones en ingeniería a una variedad de casos específicos, como el movimiento de objetos gobernado por un sistema de ecuaciones diferenciales.