La teoría de los anillos semisimples juega un papel fundamental en el álgebra no conmutativa. Estudiamos la complejidad del problema de los anillos semisimples utilizando las herramientas de la teoría de la computabilidad. Siguiendo la idea general de las álgebras universales computablemente enumerables (c.e. por abreviar), definimos un anillo c.e. como el anillo cociente de un anillo computable módulo una relación de congruencia c.e. y consideramos tales anillos como estructuras en el lenguaje de los anillos, junto con una relación binaria. Formalizamos el problema de ser semisimple para un anillo c.e. por medio del conjunto de índices correspondiente y demostramos que el conjunto de índices de los anillos c.e. semisimples es -completo. Esto revela que la complejidad de la definibilidad de los anillos c.e. semisimples radica exactamente en la jerarquía aritmética. Como aplicaciones de los resultados de complejidad en los anillos semisimples, también obtenemos los resultados de complejidad óptimos en otras clases de anillos estrechamente relacionadas, como la pequeña clase de productos directos finitos de campos y la clase más general de anillos semiperfectos.