La teoría de la curvatura, un tema fundamental en cinemática, se aborda típicamente a través de los conceptos de invariantes instantáneos y coordenadas canónicas, que son fundamentales para la generación de trayectorias mecánicas. Este artículo profundiza en este tema con un análisis de orden superior de tornillos, empleando tanto coordenadas canónicas como naturales. A través de esta exploración, se deriva una nueva ecuación de Euler-Savary, que no depende de coordenadas canónicas. Además, el artículo proporciona una clasificación exhaustiva de las condiciones degeneradas del cúbico de curvas estacionarias de los mecanismos de cuatro barras en posiciones de rotación. También se presenta un examen exhaustivo de los mecanismos de cuatro barras en posiciones de translación, donde los enlaces de pareja se traducen instantáneamente, con análisis que se extienden hasta el sexto orden. Los hallazgos revelan que los puntos de Burmester en posiciones de translación pueden extenderse a puntos de Burmester con exceso uno, siempre que todos los puntos de pivote estén distribuidos simétricamente alrededor de la norma del polo con los dos manivelas en sentidos corotativos. Sin embargo, la extensión a puntos de Burmester con exceso dos no es posible. De manera similar, el punto de Ball con exceso uno no progresa al punto de Ball con exceso dos. El artículo también destaca que el método tradicional, que se basa en coordenadas canónicas, es ineficaz cuando el mecanismo de cuatro barras forma un paralelogramo. Afortunadamente, este escenario puede analizarse de manera efectiva utilizando el enfoque basado en tornillos. En última instancia, los resultados presentados también pueden servir como soluciones analíticas para plataformas 3-RR con inestabilidad de orden superior.