La teoría de la convexidad tiene una historia rica y primordial y ha sido objeto de una intensa investigación durante más de un siglo en matemáticas. No solo tiene resultados fascinantes y profundos en diferentes ramas de la ingeniería y las ciencias matemáticas, sino que también tiene muchas aplicaciones debido a su interpretación y definición geométrica. Además, proporciona reglas de cuadratura numérica y herramientas para que los investigadores aborden y resuelvan una amplia clase de problemas relacionados y no relacionados. El enfoque principal de este documento es presentar y explorar el concepto de una nueva familia de funciones convexas, a saber, las funciones convexas de tipo exponencial generalizado. Además, para mejorar su importancia numérica, presentamos algunas de sus propiedades algebraicas. Utilizando la definición recién introducida, investigamos la nueva versión de la desigualdad integral de tipo Hermite-Hadamard. Además, establecemos algunas identidades integrales y, empleando estas identidades, presentamos varias nuevas desigualdades integrales de tipo Hermite-Hadamard H-H para funciones convexas de tipo exponencial generalizado. Estos nuevos resultados ofrecen algunas generalizaciones de los resultados anteriores en la literatura.