En este estudio, utilizamos un nuevo enfoque, conocido como el método de series de potencias residuales de Aboodh (ARPSM), para obtener los resultados analíticos de las ecuaciones diferenciales de Black-Scholes (BSDEs), que son fundamentales para la evaluación de opciones de compra y venta europeas sobre una acción que no paga dividendos, especialmente cuando incluyen derivadas fraccionarias en el tiempo. La derivada fraccionaria se considera en el sentido de Caputo. Este enfoque es una combinación de la transformada de Aboodh y el método de series de potencias residuales (RPSM). El enfoque propuesto se basa en una nueva versión de la serie de Taylor que genera una serie convergente como solución. La ventaja de nuestra estrategia es que podemos utilizar el operador de transformada de Aboodh para convertir la ecuación diferencial fraccionaria en una ecuación algebraica, lo que reduce la cantidad de cálculos necesarios para obtener la solución en un paso algebraico posterior. El aspecto principal del enfoque propuesto es lo fácil que calcula los coeficientes de los términos en una solución en serie utilizando el concepto de límite simple en el infinito. En el RPSM, los coeficientes desconocidos en las soluciones en serie deben determinarse utilizando la derivada fraccionaria, y otros enfoques analíticos aproximados bien conocidos como la iteración variacional, la descomposición de Adomian y la perturbación de homotopía requieren operadores de integración, lo que es desafiante en el caso fraccionario. Además, este enfoque resuelve problemas sin necesidad de polinomios de He y polinomios de Adomian, por lo que el bajo tamaño de cálculo es la fortaleza de este enfoque, lo que supone una ventaja sobre varios métodos de solución en serie. La eficiencia del enfoque propuesto se verifica mediante resultados en gráficos y datos numéricos. Los errores de recurrencia en varios niveles de la derivada fraccionaria se utilizan para demostrar la evidencia de convergencia para la solución aproximativa respecto a la solución exacta. El estudio de comparación se establece en términos de los errores absolutos de las soluciones aproximadas y exactas. Llegamos a la conclusión de que nuestro enfoque es simple de aplicar y preciso según los hallazgos.