En este artículo, establecemos los resultados de existencia y unicidad de la ecuación de evolución fraccionaria de Navier-Stokes (N-S) utilizando el teorema del punto fijo de Banach, donde el orden fraccionario está en la forma del orden fraccionario de Atangana-Baleanu-Caputo. Se emplea el método iterativo combinado con la transformada de Laplace y la transformada de Sumudu para encontrar las soluciones exactas y aproximadas de la ecuación de Navier-Stokes fraccionaria de un problema unidimensional de flujo no estacionario de un fluido viscoso en un tubo. En los dominios de la ciencia y la ingeniería, estos métodos funcionan bien para resolver una amplia gama de ecuaciones diferenciales parciales fraccionarias lineales y no lineales y proporcionan soluciones numéricas en términos de series de potencias, con términos que son simples de calcular y que convergen rápidamente a la solución exacta. Después de obtener las soluciones utilizando estos métodos, utilizamos el software Mathematica Versión 13.0.1.0 para presentarlas gráficamente. Creamos gráficos bidimensionales y tridimensionales de las soluciones obtenidas en varios valores de y manipulamos otras variables para visualizar y modelar relaciones entre las variables. Observamos que a medida que el orden fraccionario se acerca al orden entero 1, las soluciones se acercan a la solución exacta. Por último, trazamos un gráfico 2D de las aproximaciones de primer, segundo, tercer y cuarto término de la solución en serie y observamos en el gráfico que a medida que aumenta el número de iteraciones, las soluciones aproximadas se acercan a la solución en serie de la aproximación de cuarto término.