En este documento, se estudia un juego de Cournot con dos empresas competidoras. Las dos empresas competidoras buscan la optimalidad de sus cantidades maximizando dos funciones objetivas diferentes. La primera empresa quiere maximizar un promedio de bienestar social y beneficio, mientras que la segunda empresa quiere maximizar únicamente su beneficio relativo. Suponemos que ambas empresas son racionales, adoptando un mecanismo de racionalidad acotada para actualizar sus producciones. Se introduce un mapa bidimensional de tiempo discreto para analizar la evolución del juego. El mapa tiene cuatro puntos de equilibrio y se investigan sus condiciones de estabilidad. Demostramos que el punto de equilibrio de Nash solo puede ser desestabilizado a través de una bifurcación de cambio. Los resultados obtenidos muestran que el manifiesto del mapa del juego puede ser analizado a través de un mapa unidimensional cuya forma analítica es similar al conocido mapa logístico. Las investigaciones de las curvas críticas muestran que el plano de fase del mapa del juego se divide en tres zonas y, por lo tanto, el mapa no es invertible. Finalmente, se discuten los fenómenos de bifurcación de contacto utilizando simulación.