En este documento, estudiamos los operadores de orden fraccionario recientemente propuestos con núcleos analíticos generales. El núcleo de estos operadores es una serie de potencias localmente uniformemente convergente que puede ser elegida adecuadamente para obtener una familia de operadores fraccionarios y, en particular, las principales derivadas fraccionarias existentes. Con base en las condiciones para la transformada de Laplace de estos operadores, en este documento se obtienen algunos resultados nuevos, por ejemplo, relaciones entre las derivadas de Riemann-Liouville y Caputo y operadores inversos. Posteriormente, empleando una representación para el producto de dos funciones, determinamos una forma de calcular su derivada fraccionaria; este resultado es esencial debido a su conexión con la derivada fraccionaria de las funciones de Lyapunov. Además, se desarrollan algunos otros resultados nuevos, que conducen a teoremas similares a Lyapunov y un método directo de Lyapunov que sirve para demostrar estabilidad asintótica en el sentido de los operadores con núcleos analíticos generales. Se introduce el concepto de estabilidad FOB, que generaliza la estabilidad clásica de Mittag-Leffler para una amplia clase de sistemas. Se establecen algunas desigualdades para operadores con núcleos analíticos generales, que generalizan otras en la literatura. Finalmente, se presentan algunos nuevos resultados de estabilidad a través de funciones de Lyapunov convexas, cuya importancia radica en evitar el cálculo de derivadas fraccionarias para el análisis de estabilidad de sistemas dinámicos. Se proporcionan algunos ejemplos ilustrativos.