En este trabajo, se considera el problema de Hill cuantizado para estudiar la existencia y estabilidad de puntos de equilibrio. En particular, se han estudiado tres casos diferentes que muestran todas las posibles ubicaciones en las que emergen dos puntos del primer caso y cuatro puntos del segundo caso, mientras que el tercer caso no proporciona ubicaciones realistas. Por lo tanto, se han obtenido cuatro nuevos puntos de equilibrio relacionados con las perturbaciones cuánticas. Además, se investigan numéricamente las regiones permitidas y prohibidas de movimiento del primer caso. Demostramos que el resultado obtenido en el primer caso es una generalización del caso clásico y se puede reducir al resultado clásico en ausencia de perturbaciones cuánticas, mientras que los cuatro nuevos puntos desaparecerán. Las regiones de movimientos permitidos disminuyen a medida que aumenta el valor de , y estas regiones formarán tres áreas separadas. Por lo tanto, el cuerpo infinitesimal nunca podrá moverse de una región permitida a otra, y quedará atrapado dentro de una de las posibles regiones de movimiento con valores relativamente grandes de .