En este documento, primero diseñamos el algoritmo de integración correspondiente y el programa de Matlab de acuerdo con el principio de integración de Gauss-Legendre. Luego, seleccionamos el sistema de Lorenz, el sistema de Duffing, el sistema caótico de atracción oculta y el sistema caótico de atracción oculta de múltiples alas para el análisis de la dinámica caótica. Aplicamos la integral de Gauss-Legendre y el algoritmo de Runge-Kutta a la solución de sistemas caóticos disipativos por primera vez y analizamos y comparamos las diferencias entre los dos algoritmos. Luego, proponemos por primera vez un método de estimación de la cuenca caótica de la atracción basado en la integral de Gauss-Legendre y el exponente de Lyapunov y el criterio de decisión de este método. Este método puede obtener mejor la región de la cuenca caótica de atracción y puede distinguir mejor el atractor y el pseudo-atractor, lo que proporciona una nueva forma para el análisis de sistemas caóticos. Finalmente, utilizamos la tecnología FPGA para realizar cuatro sistemas caóticos correspondientes basados en el algoritmo de integración de Gauss-Legendre.