En este documento, consideramos una teoría de elementos de un grupoide que están asociados con ciertas funciones, funciones pseudo-inversas, que son generalizaciones de los inversos asociados con unidades de grupoide con elementos de identidad. Si clasificamos los elementos como especiales de uno de doce tipos, entonces es posible realizar un análisis bastante detallado de ciertos casos, incluidos los leftoids, rightoids y groupoids lineales, lo que demuestra que es posible desarrollar una teoría exitosa y que ya se ha obtenido una buena cantidad de información con mucho más posible en el futuro.