Este trabajo está dedicado a la investigación de invariantes cardinales como la densidad hereditaria, la densidad débil hereditaria y el número de Lindelöf hereditario. Se discute la relación entre la dispersión y la extensión del espacio del grado de permutación del espacio de Hattori. En particular, se muestra que el espacio contiene un subconjunto discreto cerrado de cardinalidad . Además, se demuestra que el funtor preserva la homotopía y la retracción de espacios topológicos. Además, demostramos que si los espacios y son equivalentes en homotopía, entonces los espacios y también son equivalentes en homotopía. Como resultado, se ha demostrado que el funtor es un funtor de homotopía covariante.