Consideramos las conocidas funciones de Mittag-Leffler de uno, dos y tres parámetros, y establecemos nuevas conexiones entre ellas utilizando cálculo fraccional. En particular, expresamos la función de Mittag-Leffler de tres parámetros como una derivada fraccional de la función de Mittag-Leffler de dos parámetros, que a su vez es una integral fraccional de la función de Mittag-Leffler de un parámetro. Por lo tanto, derivamos una expresión integral para la de tres parámetros en términos de la de un parámetro. Discutimos la importancia y aplicaciones de las tres funciones de Mittag-Leffler, con miras a posibles aplicaciones de nuestros resultados para facilitar el análisis de ciertos tipos de datos experimentales.