El objetivo de este artículo es establecer varias estimaciones de la desigualdad del triángulo en un espacio normado sobre el campo de los números reales. Obtenemos algunas mejoras de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la cual es mejorada utilizando el semiproducto interno de Tapia. Finalmente, obtenemos algunas nuevas desigualdades para el radio numérico y desigualdades de norma para operadores del espacio de Hilbert.