En este trabajo, presentamos tres mejoras a un método de Newton de tercer orden de tres puntos derivado de la regla de Simpson. El primero es un método de quinto orden que utiliza el mismo número de evaluaciones funcionales que el método de tercer orden, el segundo es un método de décimo orden de cuatro puntos y el último es un método de vigésimo orden de cinco puntos. En términos computacionales, nuestros métodos requieren cuatro evaluaciones (una función y tres primeras derivadas) para obtener quinto orden, cinco evaluaciones (dos funciones y tres derivadas) para obtener décimo orden y seis evaluaciones (tres funciones y tres derivadas) para obtener vigésimo orden. Por lo tanto, estos métodos tienen índices de eficiencia de 1,495, 1,585 y 1,648, respectivamente, que son mejores que el índice de eficiencia de 1,316 del método de tercer orden. Probamos los métodos a través de algunos experimentos numéricos que muestran que el método de vigésimo orden es muy eficiente.