Se introduce un conjunto abstracto de elementos unidimensionales (tipo espín) orientados aleatoriamente en un plano como un objeto subgeométrico básico. Dotar al conjunto con las operaciones binarias de multiplicación y adición invertible secuencialmente produce un semigrupo específico (para el cual se proporciona una tabla original de Cayley) y un sistema algebraico genérico que se muestra que genera, aparte de las álgebras de números reales y complejos, las álgebras hipercomplejas asociativas de números duales, números complejos divididos y cuaterniones. Se descubre que las unidades de todas estas álgebras están compuestas por elementos básicos unidimensionales, asegurando así el cumplimiento automático de las reglas de multiplicación (una vez postuladas). Desde el punto de vista de un espacio tridimensional definido por un triángulo de cuaterniones de vectores, se considera la condición de una longitud estándar (unidad) de elementos básicos unidimensionales; se muestra que el cumplimiento de esta condición proporciona una ecuación matemáticamente equivalente a la ecuación principal de la mecánica cuántica. Se discuten las similitudes y diferencias del esquema lógico propuesto con otros enfoques que involucran objetos subgeométricos abstractos.