Estudiamos operadores no acotados definidos densamente que actúan entre diferentes espacios de Hilbert. Para estos, introducimos una noción de pares de operadores simétricos (cerrables). El propósito de nuestro artículo es dar aplicaciones a temas seleccionados en la intersección de las relaciones de conmutación de operadores y el cálculo estocástico. Estudiamos una familia de representaciones del álgebra de relaciones de conmutación canónicas (CCR) (un número infinito de grados de libertad), a la que llamamos admisible. La familia de representaciones admisibles incluye la representación del vacío de Fock. Mostramos que, para cada representación admisible, hay un cálculo estocástico gaussiano asociado, y señalamos que el caso de la representación de CCR del vacío de Fock produce de manera natural los operadores del cálculo de Malliavin. Por lo tanto, obtenemos los operadores del cálculo de variación de Malliavin a partir de un enfoque más algebraico de lo habitual. Además, obtenemos fórmulas y reglas explícitas y naturales para los operadores del cálculo estocástico. Nuestro enfoque utiliza una noción de pares de operadores simétricos (cerrables). La representación del vacío de Fock produce un par simétrico maximal. Este punto de vista de dualidad tiene la ventaja adicional de que los problemas con operadores no acotados y dominios densos pueden resolverse mucho más fácilmente que con herramientas alternativas. Con el uso de la teoría de representación de CCR, también obtenemos, como subproducto, una serie de nuevos resultados en la teoría de operadores multivariables que consideramos de interés independiente.