Consideramos el problema de extender una función definida en un subconjunto de un conjunto arbitrario de forma estrictamente monótona con respecto a un preorden definido en , sin imponer restricciones de continuidad. Mostramos que siempre que tenga una representación de utilidad, es extensible si y solo si es creciente en términos de seguridad de brecha. Esta propiedad significa que siempre que , el ínfimo de en el contorno superior excede al supremo de en el contorno inferior de , donde , y se completa con dos -extremos absolutos, además, es débilmente creciente. La completación de hace que la condición sea suficiente. El método propuesto de extensión es flexible en el sentido de que para cualquier representación de utilidad acotada de , proporciona una extensión que coincide con en una región que incluye el conjunto de elementos -neutros de . Un análisis de teoremas topológicos relacionados muestra que los resultados obtenidos no son sus consecuencias. La condición necesaria y suficiente de extensibilidad y la forma de la extensión se simplifican cuando es un conjunto de Pareto.