Introducimos una clase especial de curvas cúbicas cuyo parámetro definitorio satisface una ecuación lineal o cuadrática proporcionada por los valores de una razón cruzada. Solo hay siete cúbicas de este tipo y se discuten varias propiedades de las cúbicas reales en esta clase (algunas de ellas siendo curvas elípticas). Utilizando la transformación de Möbius, extendemos esta autodualidad y obtenemos nuevas familias de cúbicas complejas notables. Además, estudiamos (desde el punto de vista geométrico diferencial) la superficie parametrizada por todas las curvas cúbicas reales y derivamos sus funciones de curvatura. Como subproducto, encontramos una nueva clasificación de las transformaciones de Möbius reales y algunas estimaciones para el número de vértices de las curvas cúbicas reales.