Esta encuesta proporciona una visión general exhaustiva de las soluciones a la ecuación de matriz sobre números reales, números complejos, cuaterniones, cuaterniones duales, cuaterniones duales divididos y cuaterniones conmutativos generalizados duales, incluyendo varias soluciones especiales. Además, resumimos los algoritmos numéricos para estas soluciones especiales. Esta ecuación de matriz juega un papel importante en la resolución de sistemas lineales y en la teoría de control. Exploramos específicamente la aplicación de esta ecuación de matriz en el procesamiento de imágenes en color, resaltando su valor único en este campo. Tomando la ecuación de matriz de cuaterniones duales como ejemplo, diseñamos un esquema para cifrar y descifrar simultáneamente dos imágenes en color. Los resultados experimentales demuestran que este esquema es altamente factible.