La ecuación de Klein-Gordon juega un papel importante en la física matemática, como en la física de plasmas y la física de la materia condensada. Explorar su solución exacta nos ayuda a entender sus complejos fenómenos de ondas no lineales. En este documento, primero proponemos un nuevo método de expansión de funciones elípticas jacobianas extendidas para construir ricas soluciones exactas periódicas de ondas de la ecuación de Klein-Gordon (2+1)-dimensional. Luego, introducimos una novedosa transformación de onda para construir ondas complejas no lineales. Para demostrar la efectividad de este método, simulamos numéricamente varios conjuntos de estructuras de ondas complejas, que indican nuevos tipos de fenómenos de ondas complejas. Los resultados muestran que este método es simple y efectivo para construir ricas soluciones exactas y fenómenos complejos de ondas no lineales en ecuaciones no lineales.